BLOQUES 1-4

BLOQUE  1

Números reales

Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros racionales e irracionales.

o Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar.

 

1, 2, 3,…

o Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero.

 

0, 1, 2, 3, 4, 5…

o Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos y el cero.

 

…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

§ Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero.

 

1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445...

§ Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.

 

-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,

§ El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo ni negativo.

 

Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que ha sido dividido en partes iguales.

⅛, 7.4, -2.35, 8, -25

Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros.

0.789, 3.1456

 

Numeros Fraccionarios

¿Que son los Numeros Fraccionarios?

Los Numeros Fracciónarios , son el cociente indicado

a/b

de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.

Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.

Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:

14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32

Equivalencia

Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa

a/b = a'/b'

si a · b′ = b · a′.

Así,

21/28= 9/12

porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.

Simplificacion

Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:

a/b=a.d'/b.d'=a'/b'

Por ejemplo:
120/90= 12/9

La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10

Fraccion Irreducible

Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.

La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:

12/= 4/3

Reduccion a comun denominador

Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.

Por ejemplo, para reducira común denominador las fracciones

2/3, 4/9 y 3/5

se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90

Es decir,

es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.

Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene

30/45, 20/45, 27/445

que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.

Suma de Fracciones

Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:

2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45

Producto de Fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:

a/b * c/d = a*c/b*d

Inversa de una Fraccion

La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:

a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1

Cociente de Fraccion

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:

a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p

 

 

Fracciones comunes

Una fracción común es una cantidad dividida por otra. Es importante recordar que cualquier número que se pueda escribir así: b/a se llama número racional.

 Las fracciones representan una división; y también, parte de un entero. Una fracción la podemos representar de la siguiente manera:

Numerador: número de partes que se consideran. Denominador: partes iguales en que hemos dividido el grupo, unidad o conjunto.

 

Clasificación de Fracciones

 

Fracción propia: Son aquellas fracciones donde el numerador (1) es menor que el denominador (2), y por lo tanto, el resultado es un valor comprendido entre cero y uno.

1
- = 0,5 ; es menor a 1
2

Fracción impropia: Una fracción es impropia cuando su denominador (1) es menor al numerador (3), por lo que el resultado es un valor mayor que 1.

3
- = 3 ; es mayor a 1
1

Fracción unitaria: Decimos que una fracción es unitaria, cuando su resultado nos da como valor la unidad (1). Para que esto suceda, el numerador (4) y denominador (4) deben poseer el mismo valor.

4
- = 1
4

 

Fracción de un Número

 

Para poder saber cuál es la fracción de un número, por ejemplo: 2/4 de 16, debemos dividir el número que deseamos fraccionar (16), por su denominador (4), y luego multiplicarlo por el numerador (2).

16:4 = 4; 4 x 2 = 8

Así:

Si realizamos la operación nos da que como resultado que dos cuartos de 16 es 8.

Para entender mejor, imagina que cada cuadrado de la región representa al denominador, y lo que encerramos y destacamos con naranjo, al numerador.

Así, cuando queremos encontrar los 2/4 de 16, debemos pensar que a 16 primero lo debemos divididir en cuatro grupos (representado por el denominador), y que luego de esos cuatro grupos sólo tomamos dos, porque así se señala en el numerador.

Números Decimales

Los números decimales son valores que denotan números racionales e irracionales, es decir que los números decimales son la expresión de números no enteros, que a diferencia de los números fraccionarios, no se escriben como el cociente de dos números enteros sino como una aproximación de tal valor.

¿Qué son números decimales?

Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto.

La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma. Aquí varios ejemplos para ilustrar estos casos:

7,653

En este valor podemos ver que el número entero se encuentra primero es siete o 7, delante de la coma o a su izquierda, mientras que la parte decimal, que en es te caso contra de tres cifras es 653 y se encuentra a la derecha de la cifra.

0,23

En este otro ejemplo, vemos que la parte decimal tiene solo dos cifras, pero la parte entera se reduce a cero, por lo tanto se deduce que la parte entera es nula y debe ser expresada de esa manera.

4 + 0,23 = 4,23

Este ejercicio nos demuestra como la parte entera se une con la parte decimal a través de una suma que indica que la parte entera es 4 mientras que la parte decimal se reduce a un número menor que uno pero mayor que cero, en este caso 0,23.

Clasificación de los números decimales

Existen varias formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un apóstrofe según se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números decimales, entre los que tenemos:

Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos:

0,75; 2,6563; 6,32889

Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo.

1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548…

Números decimales periódicos puros.-donde los números decimales son parte del mismo grupo como:

3,63636363…

Números decimales periódicos mixtos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en:

9,36666666…

Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como:

El número Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589…

Composición de un número decimal

Los números decimales se componen de cifras que son separadas de la parte entera con una como, un punto o un apóstrofe, como se señalaba en la parte anterior. Pero estas cifras también tienen una característica que las diferencia según la posición de su denominador. Las décimas se ubican un lugar después de la coma o separador; las centésimas están dos lugares después del separador; las milésimas en el tercer lugar y así podríamos seguir con las diezmilésimas, las cienmilésimas, etc.
Por ejemplo en el número 7,951 notamos que 7 es la parte entera, 9 es la décima, 5 es la centésima y 1 es la milésima.

Operaciones con números decimales

Suma y resta

Para sumar y restar números decimales, debemos anotar cada valor en forma vertical, para facilitar la operación, de tal manera que la coma quede en la misma columna, incluso si la parte entera de un valor tenga más cifras que el otro, como se ve en el ejemplo siguiente:

3,48
9,657

A continuación, se iguala el número de cifras decimales de cada valor si es necesario, añadiendo uno o varios ceros al valor con menos cifras decimales para que queden con el mismo número, pues el cero añadido a la derecha de la parte decimal no altera el valor, así:

3,480
9,6570

Finalmente se suma de manera tradicional, sin tomar en cuenta la coma, y al resultado final se le añade la coma en l misma posición que se encuentra en ambos valores sumados o restados.

3,480
+9,657
=13,137

Multiplicación

Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por un número entero, se resuelve la operación sin tomar en cuenta la coma. Luego el número de cifras decimales será la suma del número de cifras decimales de los dos factores, es decir que si un factor tiene dos cifras decimales y el otro tiene una cifra decimal, quiere decir que el resultado deberá tener tres cifras decimales, como en el siguiente ejemplo

3,25 x 2,7
325
X27
2275
650
=8,775

Ahora con un ejemplo, como multiplicar un número decimal por un entero, donde simplemente se siguen las reglas anteriores, con la diferencia de que el número entero tiene cero cifras decimales por lo tanto el número de cifras decimales del resultado se mantiene como en el factor decimal, veamos:

3,25 x 2
325×2=650
=6,50

Para multiplicar números decimales por cifras que son múltiplos de diez, solo recorremos la coma hacia la derecha tantos espacios como ceros tenga el múltiplo de diez, y en el caso de que tengamos que seguir recorriendo y ya no haya cifras decimales, añadimos ceros al resultado, de esta manera:

3,568×10 = 35,68
3,568×100 = 356,8
3,568×1000 = 3568
3,568×10000 = 35680

División

Para dividir números decimales, tenemos varios casos según los decimales se encuentren en el divisor, en el dividendo o en ambos.

Para dividir cuando el dividendo es decimal, se hace la división sin tomar en cuenta la coma y al obtener la primera cifra decimal, se pone la coma en el resultado y se sigue dividiendo de la misma manera.

526,6562 / 7
36 75,2366
16
25
46
42
0

Para dividir cuando el decimal se encuentra en el divisor, se debe recorrer la coma hasta el final de la cifra del divisor, mientras que en el dividendo se añaden ceros por el mismo número de espacios recorridos por la coma. Y se procede a dividir de manera normal.

6824 / 36,58
682400 / 3658

Cuando el dividendo y el divisor son números decimales, recorremos las comas por tantos espacios sean necesarios para que desaparezca del número con más cifras decimales. Mientras que en el número que tiene menos cifras decimales se irán añadiendo ceros según los espacios que falten, y se procede a dividir de la manera tradicional.

32,698 / 8,25
32698 / 8250

Para dividir un número decimal para una cifra múltiplo de diez se debe retroceder la coma hacia la izquierda según el número de ceros que tenga el múltiplo de diez, y si excede el número de espacios, se debe añadir ceros mientras se mantiene la coma y un cero a su izquierda, como a continuación.

3568/10 = 356,8
3568/100 = 35,68
3568/1000 = 3,568
3568/10000 = 0,3568
3568/100000 = 0,03568

Calcular porcentaje (%) o tanto por ciento

 

El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones.

El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo.                                              

Ejemplos: 

1 centésimo  =

 

5 centésimos = 

 

50 centésimos = 

Nota importante. No olvidar que las fracciones deben expresarse siempre lo más pequeñas posible, deben ser fracciones irreductibles.

¿Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han tomado 50 de ellas, o sea, la mitad.     

¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ ( 25/100 al simplificar por 5, se reduce a  ¼).

Cálculo de Porcentaje

El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).

En el cálculo intervienen cuatro componentes:

                            Cantidad Total             ----             100 %
                           Cantidad Parcial           ----            Porcentaje Parcial

 

Ejemplo

(Cantidad total)       $ 1.000  -   equivale al   -     100 % (porcentaje total)
(Cantidad parcial)    $  500    -   equivale al   -      50  %  (porcentaje parcial)

 

Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son :

1.- Dada una cantidad total, calcular el número que corresponde a ese porcentaje (%) parcial :

 

Ejemplo:    ¿Cuál (cuanto) es el 20% de 80?

	Cantidad	Porcentaje
Total	80	100
Parcial	x	20

 

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita  (x):

Haciendo la operación, queda:

Simplificando, queda:

    

Respuesta: el 20 % de 80 es 16. 

 

2.- Calcular el total, dada una cantidad que corresponde a un porcentaje de él.

Ejemplo:   Si el 20 % de una cierta cantidad total es 120 ¿Cuál es el total?

 

Cantidad	Porcentaje
x	100
120	20

 

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita  (x):

Haciendo la operación, queda:

Simplificando, queda: 

 

Respuesta: 120 es el 20 % de un total de 600.

 

3.- Dado el total y una parte de él calcular que % es esa parte del total.

Ejemplo:  ¿Qué porcentaje es 40 de 120?

 

Cantidad	Porcentaje
120	100
40	x

 

Para resolverlo, se hace:

Resolvemos la incógnita  (x):

Haciendo la operación, queda:

Simplificando y haciendo la división, queda:

Respuesta: 40 es el 33,33 % de 120.

 

RAZONES Y PROPORCIONES

1. RAZONES

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

2. PROPORCIONES.

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:

a/b=c/d o a:b::c:d

Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES.

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a×d=b×c

B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de  los eztremos dividido por el otro MEDIO.

b= a×d͟∕c

C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

a=b×c∕d

PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLO

Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?

1/3=1200/x         →     x=1200×3/1          x= $3600

EXAMPLE

1. Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 l ibras  son de músculo. Calcular cuanto pesan los músculos en un niño de 4lb, 62Lb, 85Lb.

2.El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones,

3. Juan entrena ciclismo. La  siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla

 

N Vueltas	4	8		20	23		30
Tiempo	12		35			50

 

 

 

PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales.  El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.

Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

EJEMPLO.

En  una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.

 

Nª DE GARRAFAS	CAPACIDAD DE GARRAFA (L=	PRODUCTO
10	28	280
20	14	280
40	7	280
70	4	280
140	2	280

 

Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número de garrafas y su capacidad en litros  son inversamente proporcionales.

EJERCICIOS.

1. Por cada 5 libras de peso de una persona, aproximadamente dos libras son de musculo. Calcular cuanto pesa un niño de 45 libras, 62 libras, 85 libras.

2. El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2 galones, 3 galones, 7 galones y 12 galones

3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla.

 

Nª DE VUELTAS	4	8			20	23
TIEMPO EMPLEADO	12		35	42			50

 

4. la tabla describe la relación entre el número de obrero y el número de días que tardan en hacer un trabajo.

 

OBREROS	6	12		40
DIAS	30		10

 

a) Completar la tabla

b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días?

c) ¿Cuántos días tardaran 14 obreros en hacer la misma obra?

5. Santiago dispone de $120000 para comprar algunos pantalones. Al llegar al almacén observa que hay pantalones de $4800, $5000, $6000, $8000 y $10000. Completa la tabla para saber cuántos pantalones podría llevar de una sola clase.

 

Nª DE PANTALONES	25
PRECIO	4800
PRECIOXPANTALON	12000

 

6. En la clase de Juan 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran comida suficiente para 10 días.

a) Si solo pueden ir 10 estudiantes ¿Podrían quedarse más días? Justifica tu respuesta.

b) Completa la siguiente tabla y determina cuantos días mas pueden quedarse en la excursión  si solo van 5 estudiantes.

 

Nª DE ESTUDIANTES	Nª DE DIAS	PRODUCTO
15	10	150
10
8
5

 

Si solo van 8 estudiantes ¿Para cuantos días alcanzara la comida?

 

SEGUNDO BLOQUE :

Representación de números en la recta numérica

Para representar un número en la recta numérica es importante conocer el contexto en que están los números que queremos representar.

Ejemplo
Ubiquemos en la recta numérica los números de la siguiente situación:
Juan debe recorrer 1 480 km para ir desde Copiapó a Temuco y 1 820 para ir a Puerto Montt.

Para representar los números de nuestro ejemplo en la recta numérica debemos seguir los siguientes pasos:

1) Dibujamos la recta con flechas en ambos extremos porque no parte desde cero
2) Elegimos un tramo: entre 1 400 y 1 900
3) Determinamos la secuencia: de 100 en 100
4) Separamos la recta de acuerdo a la secuencia con espacios iguales
5) Ubicamos el primer número: 1 480. Este número está entre 1 400 y 1 500
6) Ubicamos el segundo número: 1 820. Este número está entre 1 800 y 1 900



Otro ejemplo:
Las edades de cinco hermanos son: Juan Pablo, 19; Cristóbal, 17; María Jesús, 12; Camila, 11 y Benjamín, 2.

1) Dibujamos la recta sólo con flecha en el extremo derecho porque parte en cero
2) Elegimos un tramo: entre 0 y 20
3) Determinamos la secuencia: de 2 en 2
4) Separamos la recta de acuerdo a la secuencia con espacios iguales
5) Ubicamos el número 19. Está entre 18 y 20
6) Ubicamos el número 17. Está entre 16 y 18
7) Ubicamos el número 12. Está entre 11 y 13
8) Ubicamos el número 11. Está entre 10 y 12
9) Ubicamos el número 2. Está entre 1 y 3.



Las flechas en la recta se dibujan porque los números continúan en esa dirección. Por ejemplo, en la primera recta hay números antes y después de los tramos elegidos. Hay números antes de 1 400 y también después de 1 900.

En la segunda recta, sólo hay flecha en el extremo derecho, porque antes del cero no hay números naturales.

 

 

Proporcionalidad: directa e inversa

 

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razón.

Razón y proporción numérica

Razón entre dos números

Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre

 

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que

 

Y la razón entre los números 0,15  y  0,3  es

 

Proporción numérica

Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.

Entonces:

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir
Se lee “a es a b como c es a d”

 

Los números 2,  5  y  8,  20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

 

Es decir

 

En la proporción

hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

 

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

 

Así, en la proporción anterior

 se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40

 

Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:

Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.

Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.

Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

 

Ejemplo

Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos	1	2	3	...	26	...
Peso en kg	20	40	60	...	520	...

 

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

 

Observa que

 

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

 Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.

PSU: Matemática;

Pregunta 07_2006

Pregunta 06_2007

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Ejemplo 1

En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?

Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:

Litros de agua	50	x
Gramos de sal	1.300	5.200

 

Se verifica la proporción:

 

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:

50 por 5.200 = 1.300 por x

 

Es decir

 

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

 

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

 

Ver: El Interés y el dinero

 

Ver: PSU: Matemática;

Pregunta 02_2005

Pregunta 05_2005

Pregunta 02_2006

 

Ejemplo 2

Un automóvil  gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?

Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km

 

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

 

Ejemplo

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto,  las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).

Formamos la tabla:

Hombres	3	6	9	...	18
Días	24	12	8	...	?

 

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72

Por tanto 18 por x = 72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.

Importante: Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.

 

Ver. PSU: Matematica, Pregunta 10

 

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)

Ejemplo 1

Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?

Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas	220	450
Nº de días	45	x

 

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde

 

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

 

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.

 

Ejemplo 2

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

 

Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

 

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES

Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad

Ejemplo 1: Proporcionalidad directa

Cuatro chicos durante 10 días de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante 15 días de campamento?

§         Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales.

§         El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad desconocida, gasto.

SABEMOS QUE		pesos
REDUCCIÓN A LA UNIDAD		pesos
		pesos
		pesos
BÚSQUEDA DEL RESULTADO		pesos

 

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa

15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?

§         Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

§         Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.

Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.

SABEMOS QUE
REDUCCIÓN A LA UNIDAD
BÚSQUEDA DEL RESULTADO

 

Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.

Ver Desarrollo de un ejercicio de proporcionalidad

Este texto está extraído de los libros de la Editorial SM de 1º y 2º de ESO

Ver PSU: Matematica. Pregunta 03

 

TERCER BLOQUE:

Sumas y Sucesiones de Números

 
     Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales reales.
 
                               X: N----R
                               N: x (n)
 
  -Una sucesión asigna a cada número natural un número real determinado de manera única.
-A cada elemento de la sucesión lo denotamos por Xn= X(n) y lo llamaremos término.
 
 

Operaciones con signo

30 Lizzy

EJEMPLOS

 

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

 

a ₁ = − 1;          a ₁₅ = 27;      

 

a _n = a ₁ + (n - 1) · d

 

27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2

 

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

Ejercicios

1.     El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27.

 Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
 
       2.- El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.
      
         3.- Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.
 
       4.- Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
 
       5.- Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.
 
       6.- El 1^er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.
 
       7.- El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.

BLOQUE 4

Transformaciones Algebráicas 1 

Polinomio:

Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados usando sumas, restas y multiplicaciones, … pero no divisiones. Los exponentes sólo pueden ser 0,1,2,3,... etc.                                      

No puede tener un número infinito de término.

En matemáticas se denomina polinomio a la suma de varios monomios(llamados términos del polinomio) :

Monomio = 1 término

Binomio = 2 términos

Trinomio = 3 términos 

Polinomio = 4 o más términos

 

 

Ejemplos de Polinomios de varios términos.

 

 

El grado de polinomio 

 

El grado de polinomio sera el mayor exponente de todos sus terminos,por  ejemplo;

 

Los polinomios se pueden ordenar de menor a mayor grado,sin embargo la mas comun es de mayo a menor grado (orden desentemene)

 

 

 

Terminos Semejantes

Dos o mas terminos semejantes si presentan las mismas si presentan las mias variables afectadas por los mismo exponenciales.

 

Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente. Ejemplos:

2x2y3	es semejante a	-	2 3	x2y3
-3x5y	es semejante a	2yx5
4xy1/2	es semejante a	-	2 3	y1/2x
4x2y	no es semejante a	3xy2

De igual manera, 3x² y 5x² son términos semejantes, también se pueden sumar:

3x² + 5x² = 8x²

Reducción de términos semejantes 

Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los mismos.
7x - 6x + 10x + 4y + 7y - 9y = 11x + 2y

 

 

 

 

 

OPERACIONES CON POLINOMIOS

 

con polinomios podemos realizar las cuatro operaciones básicas , auxiliando nos de las leyes de exponentes la eliminación de signos de agrupación, de términos semejantes y los procesos adecuados en cada operación.

 

 

SUMA O ADICIÓN. se seleccionan los términos semejantes y se suma entre ellos . esto se puede hacer de dos formas. 

 

 

ejemplos de operaciones con polinomios.